Les maths quantiques jouent au casino avec des atomes

Damien Jayat
Médiateur scientifique

Publié le 27/05/2009 à 15h10

Erwin Schrödinger sans son chat mais avec son équation (Wikimédia Commons)

Vous n’avez jamais rien compris aux maths ? Vous êtes convaincus qu’elles ne servent qu’à dégoûter de l’école des générations d’élèves ? Pourtant, notre quotidien en dépend largement, et les scientifiques font souvent appel à eux. Exemple avec un jeune chercheur qui manipule les équations comme des jouets d’enfant.

Il s’appelle Thomas Bouabça et achève sa thèse au laboratoire de chimie et de physique quantique, à Toulouse. Il a passé l’examen oral la semaine dernière. Je suis allé écouter, à commencer par le titre de sa thèse : « Introduction d’orbitales corrélées dans les approches Monte-Carlo quantiques. »

Titre incompréhensible, Thomas le sait. Il a donc un sous-titre qui se veut éclaircissant : « Comment rendre les approches Monte-Carlo quantiques opérationnelles en chimie ? » Là encore, même pour un lecteur assidu de Science&Vie ou de Rue89, le flou règne en maître.

L’équation de Schrödinger, gourmande en calculs complexes

Peut-on faire encore plus clair ? Je relève les manches et le défi.

Dans la conception classique de la matière, un atome c’est un noyau avec des électrons qui tournent autour. Trop simple pour être vraie, cette vision a été profondément modifiée par une théorie apparue au début du XXe siècle : la mécanique quantique.

Dans ce nouveau monde, les particules sont aussi des ondes, leur position et leur vitesse ne peuvent être connues en même temps avec la même précision, et elles ne peuvent renfermer que certaines doses d’énergie. Comme un four que vous pouvez chauffer à thermostat 4 ou 5 mais jamais à 4,734.

Lorsqu’on étudie un atome ou un assemblage d’atomes (une molécule), il est important de connaître avec le maximum de précision l’état des électrons et notamment ce qu’on appelle leur « niveau d’énergie », c’est-à-dire à quel thermostat ils sont chauffés.

Pour cela, le mécanicien quantique utilise une formule : l’équation de Schrödinger, proposée par l’Autrichien du même nom en 1925.

Avantage de cette équation, à partir de quelques infos sur les électrons, elle vous décrit leur évolution dans le temps et l’espace avec l’aisance d’un Casanova dans un harem perse gardé par seize eunuques.

Inconvénient : obtenir la carte d’identité d’un électron isolé gravitant autour d’un noyau demande de nombreux calculs mathématiques. Pour deux électrons, c’est pire.

Et pour décrire un atome comme le cuivre, qui contient 29 électrons, même un stock de Doliprane devient inutile. Finalement, sauf pour l’atome d’hydrogène (un électron + un proton) tous les calculs doivent être pris en charge par un ordinateur. Lui seul est capable d’effectuer les milliards de calculs nécessaires.

Des calculs approchés, mais attention à la marge d’erreur

Mais voilà que certains rêvent de décrire avec l’équation de Schrödinger la structure d’une molécule entière. Plusieurs atomes, donc plusieurs dizaines, voire centaines d’électrons ! De la folie pure. D’ailleurs, c’est impossible à l’heure actuelle. Les chercheurs arrivent seulement à trouver une approximation de la solution. Et rien que pour ça, je vous dis pas le boulot.

L’idée est la suivante. Au lieu de se liquéfier le cerveau à résoudre une vacherie d’équation qui résiste à tout bombardement calculatoire, on prend une autre équation, qui lui ressemble le plus possible et qu’on sait résoudre.

Les calculs gentiment exécutés par l’ordinateur servent alors à « optimiser » cette équation, c’est-à-dire à trouver une solution la plus proche de la vraie. Au lieu de bâtir un fragile château de cartes, on en fait un pareil avec des planches de bois. Moins esthétique, mais ça tient debout.

Cette méthode introduit un nouvel inconvénient. En cherchant une solution approchée, on commet toujours une erreur, un écart par rapport aux valeurs réelles.

Si vous cherchez à distinguer deux électrons dont l’un est à 10 mètres du noyau et l’autre à 15 mètres (les chiffres sont faux bien sûr), et que votre équation approchée vous dit « ton premier électron est à 10 mètres... à 7 mètres près », comment faites-vous pour le distinguer du second ? Vous ne pouvez pas.

Les calculs approchés sur l’équation de Schrödinger ont exactement le même souci. Le but de certains travaux de recherche est donc de minimiser les écarts, de trouver la solution approchée la plus approchée possible.

C’était le sujet de la thèse de Thomas : comment réduire ces saloperies d’erreurs quand on veut résoudre l’équation de Schrödinger pour des molécules complexes.

Faire confiance au hasard, c’est scientifique !

Pour cela, il a utilisé une méthode originale de calcul, appelée « Monte-Carlo » en l’honneur du casino de la ville du même nom. Elle repose en effet sur des calculs de probabilités, les mêmes que dans les jeux de hasard dont étaient friands les inventeurs de ladite méthode.

La Monte-Carlo est utilisée depuis longtemps dans les calculs économiques (fixation des prix) ou dans les télécoms (traitement du signal) et, depuis peu, en chimie. Avec son traditionnel lot d’ennuis.

Pour appliquer Monte-Carlo, vous devez étudier trois équations proches -dont l’équation de Schrödinger et sa version approchée- et les optimiser afin de les rendre rigoureusement égales. Superposables.

Mais vous savez dès le départ qu’elles ne pourront jamais être égales à zéro en même temps. Dans ces conditions, impossible de superposer, impossible d’optimiser à 100% l’équation approchée. Vous tapez autant de fois que vous voulez dans la balle de golf, elle frôlera le trou sans jamais tomber dedans.

Agaçant, non ? C’est pourquoi Thomas a essayé une nouvelle technique. Plutôt que d’optimiser son équation d’un bloc, il l’a découpée en morceaux pour s’attaquer à chacun séparément.

Il a aussi obligé son équation à obéir à des règles simples de physique sur le comportement des électrons. Ce qui lui a permis de superposer le plus parfaitement possible ses équations, à grands coups de maths qui m’ont fait, je l’avoue, un peu décrocher lors de son exposé oral : les variances, Jastrows, matrices hessiennes et opérateurs hamiltoniens m’ont laissé un peu froid.

Là n’est pas l’essentiel. Le côté le plus passionnant de ce travail reste son utilité future. La nouvelle technique d’optimisation est encore imparfaite, elle marche bien sur des petits atomes mais laisse des doutes quand il y a trop d’électrons. Avec encore du travail, ça ira mieux.

On trouvera des équations de Schrödinger approchées qui permettront de décrire les centaines d’électrons d’une molécule simple, et pourquoi pas d’une grosse.

A quoi servent les maths ?

L’idée, à long terme, est de pratiquer de la chimie sur ordinateur. De connaître si bien la structure d’une molécule, électron par électron, qu’on pourra prédire si et comment elle interagit avec une autre ; où on peut la casser en deux et lui recoller un autre morceau ; si elle peut changer de forme, etc. Tout ça à partir de calculs mathématiques.

On pourra, grâce à ces modèles informatiques, chercher des médicaments, décrypter certains mécanismes biologiques, trouver des procédés de synthèse chimique plus simples, étudier des molécules étranges (comme O₄, qui se forme dans l’atmosphère) ou inventer de nouveaux écrans.

Les recherches sur ordinateur sont déjà légion dans ces domaines car elles permettent de belles économies de temps, d’argent, de consommation et de pollution.

Il reste encore des progrès à faire sur toute la chaîne, depuis les calculs au fond du labo jusqu’à l’application concrète.

Ces progrès viendront de l’association de plusieurs disciplines en chimie, biologie, mathématiques et informatique. Nouvel exemple, s’il en fallait, que la recherche scientifique n’avance que si chacun y met du sien. Sans compter la volonté politique, le contrôle citoyen et la diffusion médiatique comme celle que je viens d’essayer.

Voilà. Je vous laisse avec ça sur les bras, en espérant que c’est plus clair à la fin qu’au début, et que vous avez au moins compris le sous-titre de la thèse de Thomas...

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